8. Системный анализ. Имитационное динамическое моделирование

В 50-х годах профессором Форрестером были разработаны основы системной динамики (System Dynamics), которые затем стали использоваться для решения задач управления и анализа функционирования систем. Название не совсем точно отображает суть методики, так как при ее использовании имитируется поведение моделируемой системы во времени с учетом внутрисистемных связей. Поэтому в ряде работ ее все чаще называют System Dynamics Simulation Modeling - имитационное динамическое моделирование.

Историческая справка

В начале 70-х годов по предложению Римского Клуба("Римский Клуб" - международная общественная организация, объединяющая около семидесяти предпринимателей, управляющих, политических деятелей, высокопоставленных служащих, доверенных экспертов, деятелей культуры, ученых из стран Западной Европы, Северной и Южной Америки, Японии. Свою деятельность Клуб начал в 1968 году со встречи в Риме - отсюда и название клуба. Изначально они  были заинтересованы в систематическом анализе перспектив энергетической и сырьевой проблем, с которыми связаны возможности расширения рынков сбыта автомобилей. Но ученые - кибернетики, экономисты, социологи и др., привлеченные для разработки этих прогнозов, в своих отчетах охватывали более широкий круг вопросов, связанный с глобальными проблемами.) Дж.Форрестер (США) применил разработанную им методику моделирования на ЭВМ к "мировой проблематике". Результаты исследования были опубликованы в книге "Мировая динамика" (1971). В книге Форрестер предсказывал неизбежность всемирных катастроф, которые наступят по его расчетам в начале XXI века (20-х годах). Эти катастрофы явятся результатом заражения окружающей среды, истощения природных ресурсов, последствий демографического взрыва в развивающихся странах. По сравнению с таким будущим, утверждал автор проекта, качество жизни современного периода гораздо выше и, возможно, конец ХХ века будет признан впоследствии "золотым".

После обсуждения "модели Форрестера" исполнительный комитет поручил ученикам Форрестера продолжить исследование. Модель была значительно усовершенствована. По уточненным данным начало "экологического коллапса", "вселенского мора" было отстрочено на 40 лет. Эта работа, выполненная в Массачусетском технологическом институте (США) под руководством Д.Медоуза, нашла отражение в книге "Пределы роста" (1972). Модели "Форрестера-Медоуза" был придан статус первого отчета "Римского Клуба".

Любую систему можно представить в виде сложной структуры, элементы которой тесно связаны и влияют друг на друга различным образом. Связи между элементами могут быть разомкнутыми и замкнутыми (или контурными), когда первичное изменение в одном элементе, пройдя через контур обратной связи, снова воздействует на этот же элемент. Так как реальные системы, обладают инерционностью, в их структуре имеются элементы, определяющие запаздывания передачи изменения по контуру связи.

При ИДМ строится модель, адекватно отображающая внутреннюю структуру моделируемой системы. Затем поведение модели проверяется на компьютере на сколь угодно продолжительно время вперед. И.Д. модели используют специфический аппарат, позволяющий отобразить причинно-следственные связи между элементами системы и динамику изменений каждого элемента. Модели реальных систем обычно содержат большое количество переменных, поэтому-то и проводится моделирование на компьютерах. Описывают ИДМ с помощью специализированного языка DYNAMO. При построении ИДМ используется следующие понятия и определения:

Диаграмма причинно-следственных связей - графическое изображение причинно-следственных связей между элементами, составляющими моделируемую систему. Причинно-следственная связь отражает отношения между отдельными элементами системы как между причиной и следствием. Она обозначается стрелкой, направленной от причины к следствию. Связь может быть положительной (когда изменение причины вызывает аналогичное изменение следствия) и отрицательной. Полярность обозначается знаками <+> и <->. Две последовательно соединенных отрицательных связей образуют в итоге положительную связь, т.е. A -> -B -> -C аналогично A -> +C,  а связь A -> +B -> -C аналогична  A -> -C.

Причинно-следственные связи могут образовывать замкнутые контуры однонаправленной контуры, т.е. контуры положительной или обратной связи.

  1. Увеличение А вызывает рост С, а рост С, в свою очередь А и т.д.
  2. Увеличение Х вызывает уменьшение У, а это вызывает увеличение Z, а рост Z вызывает дальнейшее увеличение Х.
  3. ::::..
  4. ::::..

Закономерность контуров: зависимость полярности контура от четности/нечетности отрицательных связей.

На основе диаграммы причинно-следственных связей строится диаграмма потоков и уровней - графическое изображение ИДМ в виде уровней и связывающих их потоков.

Уровень - элемент, характеризующий накопление потока, достигнутый уровень (например, уровень числа рабочих, занятых на предприятии; объем товара на складе)

Уровень изображается прямоугольником, внутри которого помещают его его обозначение LEV.X и номер уравнения, описывающий динамику уровня. Индекс X соответствует моменту времени, для которого берется значение уровня X = J,K,L. Значение уровня в настоящий момент времени K равное его значению в предыдущий момент времени J плюс (или минус) изменение уровня за период от момента J до момента K.

Поток, вливаясь в уровень или вытекая из него, определяет изменение уровня. Обычные потоки являются материальными. Кроме того, различают информационные потоки, с помощью которых принимается решение (определяется значение темпа потока на след. интервал времени KL). Обычные потоки обозначаются непрерывными стрелками, информационные - штриховыми. Поток измеряется темпом потока, характеризующим количество переносимого потоком ингредиента в единицу времени. В общем случае темп потока обозначается RT.

Принимается, что темп, определенный в момент J (или K), остается неизменным до момента K(или L). Так как темп действует на протяжении временного интервала DT, время его действия обозначается двумя индексами, соответствующими началу и концу временного интервала (например, RT.JK)

Количество уровней определяет порядок ИДМ. При построении ИДМ возникает необходимость введения различных промежуточных, вспомогательных по своему назначению элементов, отображающих как промежуточные этапы в процедуре определения уровней и темпов, так и отдельные параметры, влияющие на поведение моделируемой системы. Вспомогательные переменные обозначаются окружностью, и их вводят в модель по мере необходимости построения ИДМ.

Шаг моделирования - это интервал времени, через который вычисляются все параметры модели. Он обозначается DT.

На протяжении интервала DT все переменные модели считаются неизменными, определенными в момент времени J и принимающими новые значения в момент времени K.

Аппарат имитационного динамического моделирования.

Контур положительной обратной связи.

 

Единственный поток с темпом RT собирается в уровне LEV. Темп потока прямо пропорционален уровню, С - константа пропорциональности. В соответствии с ранее приведенными правилами, описываем это уравнением:

LEV.K = LEV.J + DT * RT.JK, 1L

где LEV.K - величина уровня в момент K; LEV.J - величина уровня в момент J; RT.JK - темп потока в течении интервала DT (от момента J до момента K). Цифра 1 обозначает что это первое уравнение, а буква L - что это уравнение уровня. Зададим начальные условия: LEV = 1. Уравнение темпа: RT.KL = C* LEV.K, C=0,2, DT=1.

Проведя численное моделирование, получим экспоненциальный рост уровня и темпа.

Любое начальное значение уровня LEV1, отличное от нуля, дает положительное значение темпа RT1:. Таким образом, любое начальное возмущение системы с положительной обратной связью вызывает ее рост. В реально действующих системах рост длится до тех пор, пока система может подавлять силы, замедляющие рост. Следовательно, в реальных системах, имеющих контуры положительной и других обратных связей, с течением времени усиливается влияние контролирующих обратных связей так, что они подавляют экспоненциальный рост.

Системы с отрицательной обратной связью. Их можно представить как системы стремящиеся к некой цели GL; при этом чем дальше система от цели, тем большее усилие нужно приложить для ее достижения.

 

В отличии от контура пол.обрат.связи здесь темп потока зависит от разности между фактическим и желаемым состоянием система - DISC. В нашем примере желаемое состояние - цель - определяется извне. Модель описывается следующими уравнениями:

LEV.K = LEV.J + DT * RT.JK

где LEV - уровень, RT - темп (1/время)

RT.KL = C * DISK.K

C - константа пропорциональности, характеризующая чувствительность системы (1/время). DISC - разность между целью и уровнем

DISC.K = GL - LEV.K

Для понимания надо смотреть графики и рисунки.

Если GL = 0, то получаем

LEV.K = LEV.J + DT * RT.JK

RT.KL = -C * LEV.K

Модель с отрицательной обратной связью, имеющую дополнительный постоянный поток с темпом RT2, на который система не может оказывать влияния.

LEV.K = LEV.J + DT ( RT1.JK + RT2.JK)

RT1.KL = C * DISK.K

RT2.KL = CONST

DISK.K = GL - LEV.K

Предположим, что входящий поток RT2 начинает действовать, когда значение уровня равно цели. Уровень увеличивается до значения LEV1, что вызывает исходящий поток RT1, так как LEV1 > GL. Однако темп RT1, соответствующий LEV1, по абсолютному значению меньше RT2, т.е. суммарный темп двух потоков > 0. В результате уровень возрастет до LEV2 и т.д. Это будет продолжать до тех пор, пока тем исходящего потока RT1 не сравняется с темпом входящего потока RT2. Это произойдет, когда уровень достигнет значения новой цели NGL = GL + (1/C) * RT2

Это будет новое равновесие состояния системы. Очевидно, что система с отрицательной обратной связью компенсирует постоянный входящий поток за счет управления исходящим потоком и изменения оного на величину входящего потока.

Структура S-образного роста.

Запаздывания

Методика построения и применения ИДМ

Обратное моделирование

Последнее изменение: Вторник, 24 Июль 2012, 23:41